中学3年生 第1回診断テスト

2019年度 数学 問題3

解答と解説

(1)ウ、エ

【解説】
ア 対称移動(イとウに共通する辺において)
イ 対称移動と回転移動(イとウに共通する辺において、ウと色のついた直角三角形に共通する辺の中点において)
ウ 回転移動(ウと色のついた直角三角形に共通する辺の中点において)
エ 回転移動(1番大きい長方形の中点において)
オ 平行移動
カ 対称移動と回転移動(ウとカに共通する辺において、ウと色のついた直角三角形に共通する辺な中点において)
キ 対称移動(ウとカに共通する辺において)
したがって、1回の回転移動で色のついた直角三角形に重なるものは、ウとエである。

平行移動、対称移動、回転移動の違いを抑える。また、回転移動と点対称移動の違いも抑えておくとなお良いでしょう。

(2)イ 、エ

【解説】
平行は、簡単に言うといくら延長しても交わらないことを言う。つまり、この問題では辺AB(点Aと点B)といくら延長しても触れ合ってはいけないということだ。
また、どこか1面を底面にしてその面を中心に組み立てていく。この問題ではウを底面にすると簡単に解ける。
ア 辺ABがアの一辺であるため平行ではない。
イ 触れ合わない。
ウ 点Bが触れる。
エ アとエが平行になるので、触れ合わない。
オ 辺ABと触れ合う。
カ 点Aと触れ合う。
したがって、辺ABと触れ合わない、つまり平行なのは、イとエである。

どこか一面を底面として、固定して考えましょう。

(3)25πcm2

【解説】
球の表面積は4πr二乗で求めることができる。
ここで、直径は5cmであることから、半径rは5/2であることがわかる。したがって、球の表面積の公式に代入すると、4π(5/2)二乗=25π㎠。

球の表面積の公式  4πr二乗
球の体積の公式  (4/3)πr三乗 を覚えましょう。

(4)\(\frac{2}{3}\)

【解説】
円錐の体積は(1/3)×(底面積)×(高さ)で求めることができる。なお、底面積(円の面積)はπr二乗で求める。
辺ACを回転軸として一回転させてできる体積は、底面の半径r=4、円錐の高さは6なので、円錐の公式に代入すると、(1/3)π×4二乗×6=32π㎤。また、辺BCを回転軸として一回転させてできる体積は、底面の半径r=6、円錐の高さは4なので、円錐の公式に代入すると、(1/3)π×6二乗×4=48π㎤。
したがって、32π/48π=2/3倍であることがわかる。

円錐の表面積の公式  (側面積)+(底面積)
(π×(円の半径)×(母線+円の半径)でも求められる。)
円錐の体積の公式  (1/3)×(底面積)×(高さ) を覚えましょう。

(5)2

【解説】
正三角形ABCを矢印の方向に倒すと、次に直線L上にくる点は点Cであることが図から分かる。その点Cを直線L上に移動させると120°移動したことになる。つまり、Aも120°移動したことになる。同様に、辺BCがL上にある、正三角形ABCを矢印の方向に倒すと、次に直線L上に来る点は点Aであることがわかる。その点Aを直線L上に移動させると120°移動したことになる。ここで、最終形は波線図のようになれば良いので、もう一度同様に、辺CAがL上にある、正三角形ABCを矢印の方向に倒すと、次に直線L上に来る点は点Bであることがわかる。ここでは、点Bは120°移動したが、点Aは全く移動していない。
以上より、点Aは、半径6cmで中心角120°のおうぎ形の弧を2回分描いたことがわかる。
おうぎ形の弧の長さは、2πr×(中心角/360°)で求めることができるので代入すると、2π×6×(120°/360°)=4π
点Aはおうぎ形の弧を2回分描いたので、求めるAの移動距離は4π×2=8πcmである。

Aを中心に考えると分からなくなるので、直線L上にくる点を中心に考えていくと良いでしょいう。

(6)

【解説】
辺ABの垂直二等分線を描き、直線Lとの交点を点Pとする。点Pと点A、点Pと点Bをそれぞれ結ぶ。次に、辺ABの中点から、点Pの長さをコンパスではかり、辺ABの中点に針をおき少し印をつける。その印と垂直二等分線との交点を点Qとする。点Qと点A、点Qと点Bをそれぞれ結ぶ。

なにをすれば良いか分からなかったら、一回コンパスもなにも使わずに紙面にこのようになれば良いという図を簡単に描くと、なにから手をつけて良いか見えてくるでしょう。